Question

询问一道高考数学题

方程x^2-2arcsin(cosx)+a^2=0有且仅有一解，求实数a的值
这道题我想用X^2+a^2=2arcsin(cosx)左右两边相等画函数图象来解，可是我认为因为反三角函数arcsin(cosx)中的x应该是有范围的，画函数图象时不是应该只能画有限的一段吗，可是老师说函数图象是左右两边对称，并且覆盖整个x轴的，这是为什么，希望解答，谢谢

Answer 1

cosx的定义域是X属于R，值域是【-1，1】
arcsiny的定义域是y属于【-1，1】
所以arcsin(cosx)的定义域是R，即覆盖整个X轴。
用-x替换X：arcsin[cos(-x)]=arcsin(cosx)
所以图像关于y轴对称。
这道题不用图象解，f(x)=x^2-2arcsin(cosx)+a^2

是偶函数，所以如果存在X1能使f(x1=0
那么：f(-x1)=0
因为f(x)=0只有一个根，所以x1=-x1
即x1=0，代入原方程得a^2=π

Answer 2

把x^2和a^2弄到一起，在同取sin则有sin[(x^2+a^2)/2]=cosx=sin(PI/2-x);;;Pi是3.14。。。。于是(x^2+a^2)/2=Pi/2-x+kPi;k取整数移项，x^2+2x-(2k+1)Pi+a^2=0,x有唯一实数解，判别式=0得4+4(2k+1)PI-4a^2=0于是a^2=(2k+1)Pi+1,此时k取非负整数，a=正负根号[（2k+1）Pi+1]

Answer 3

arcsin(x)中 x属于[-1.1].所以 cos（x）属于[-1,1] 所以 x属于R 无论x取什么值 cosx的值域都是[-1,1] 都是在arcsin的定义域里的 。 arcsin(cos(-x))=arcsin(cos(x)) 所以为偶函数

Answer 4

我们知道y=sint的函数其值域y∈[-1，1],因此y=arcsin(t)函数的定义域t满足t∈[-1，1]，也即cosx∈[-1，1],因此x满足x∈[2kπ-π，2kπ]。

追问

那arcsin(sinx)的定义域不是-pai/2,pai/2吗，为什么当中换为cosx以后就会变为R

追答

对于arcsin(t)，其定义域t满足t∈[-1，1]，如你所述则有sinx∈[-1，1]，即x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],这里x的值是以原点为中心沿X轴两端无限扩展，对cosx也一样。

追问

我明白你说的，可是arcsin(sinx)的定义域不是-pai/2,pai/2，说明其图象是在轴上的范围是pai/2,pai/2，并不是如你上述所说以原点为中心沿X轴两端无限扩展的