Question

若直角三角形的面积等于其周长，则这样的直角三角形有多少个？

Answer 1

直角三角形的三边都是整数吧？否则有无数个.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
解：设直角三角形两直角边为a,b,
(a≤b),
则
斜边为
√(a^2+b^2).
由已知,
(1/2)ab
=a
+b
+√(a^2+b^2),
即
2√(a^2+b^2)
=2(a+b)
-ab,
即
4(a^2
+b^2)
=4(a+b)^2
-4ab(a+b)
+(ab)^2,
即
8ab
-4ab(a+b)
+(ab)^2
=0.
即
ab
[
8
-4(a+b)
+ab
]
=0.
又因为
ab>0,
所以
8
-4(a+b)
+ab
=0.
即
(ab
-4a)
-(4b
-16)
-16
+8
=0,
即
(a-4)
(b-4)
=8.
又因为
a,b
为整数,
且
b
≥a
≥1,
所以
b-4
≥
a-4
≥
-3.
所以
a-4
=1,
b-4
=8,
或
a-4
=2,
b-4
=4.
解得
a=5,
b=12,
或
a=6,
b=8.
所以
直角三角形三边为
6,8,10
或
5,12,13.
共两个.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
由
8
-4(a+b)
+ab
=0.
得出
(a-4)
(b-4)
=8.
这个是关键.
因为要求整数解.