Question

如图， 已知抛物线Y=ax²+bx+c与X轴交于点A（-1，0）B（3，0），与Y轴交于点C（0，

Answer 1

(1)
∵抛物线经过A(-1,0)B(3,0)
∴y=ax²+bx+c
=a(x+1)(x-3)【即设为交点式】
把C(0,-3)代入
解得a=1
∴y=（x+1)(x-3)
=x²-2x-3
∴y=x²-2x-3
(2)对称轴为直线x=-2a/b=1
由题意可知MA+MC最短即MA,MC在同一直线上【两点之间线段最短】
∴作点A关于直线x=1的对称点即点B，连接BC交对称轴于点M，此时MA+MC=MB+MC=BC为最短
设yBC=kx+b
把B(3,0)C(0,-3)代入
解得yBC=x-3
∵M在对称轴上
∴把x=1代入yBC=x-3
得y=-2
∴M(1,-2)
(3)分类讨论
∵A(-1,0)C(0,-3)
∴OA=1,OC=3
由勾股定理得AC=根号10
①以A为顶点，即AC=AP=根号10
【可以A为圆心，AC为半径画圆交直线x=1有两个交点】
当点P在第一象限
设直线x=1交x轴于点H
在Rt△PAH中，OA=1,OH=1
∴AH=2
∵AP=根号10
∴由勾股定理得PH=根号6
∴P1(1,根号6）
当点P在第四象限
同理可得PH=根号6
∴P2(1,-根号6）
②以C为
顶点，即CA=CP=根号10
在Rt△COP中，OP=1,CP=根号10
由勾股定理得OC=3
∴P3(1,0)
③以P为顶点，即PA=PC
作AC中垂线l交直线x=2于点P，交AC于点G
求得yAC=-3x-3
∵yAC于直线l垂直，由相垂直两直线斜率k乘积为-1可得
设直线yl=1/3x+b
∵A(-1,0)C(0,
-3)
由中点公式得G(-1/2,-3/2)
把点G(-1/2,-3/2)代入直线l
得yl=1/3x-4/3
把x=1代入
得y=-1
∴P4(1,-1)
综上所述P1(1,根号6）
P2(1,-根号6）
P3(1,0)
P4(1,-1)

Answer 2

(1)过(-1,
0),
(3,
0),
可表达为y
=
a(x
+
1)(x
-
3)
过(0,
3):
x
=
0,
y
=
-3a
=
3,
a
=
-1
y
=
-(x
+
1)(x
-
3)
=
-x²
+
2x
+
3
对称轴x
=
(-1
+
3)/2
=
1
顶点(1,
4)
(2)
c关于对称轴的对称点为c'(2,
3)
ac'与对称轴的交点即为点p(不清楚再问)
ac'的方程：(y
-
0)/(3
-
0)
=
(x
+
1)/(2
+
1)
取x
=
1,
y
=
2,
p(1,
2)
(3)
cp的斜率为(3
-
2)/(0
-
1)
=
-1
dc
=
m,
d(0,
3
-
m)
de的方程为y
=
-x
+
3
-
m
取y
=
0,
x
=
3
-
m
e(3
-
m,
0)
令对称轴与x轴的交点为m'
四边形abmc的面积
=
∆aoc的面积
+
梯形ocmm'的面积+
∆mm'b的面积
=
(1/2)*1*3
+
(1/2)(3
+
4)*1
+
(1/2)(3
-
1)*4
=
9
∆pde的面积
=
1
(i)当e在om'上,
2
<
m
<
3
∆pde的面积
=
梯形odpm'的面积
-
∆ode的面积
-
∆pm'e的面积
=
(1/2)(3
-
m
+
2)*1
-
(1/2)(3
-
m)*(3
-
m)
-
(1/2)(1
-
3
+
m)*2
=
(-m²
+
3m)/2
=
1
m
=
1或m
=
2
与前提不符合，舍去
(ii)
e与m'重合，m
=
2
∆pde的面积
=
(1/2)ep*p的横坐标
=
(1/2)*2*1
=
1
符合要求
(iii)
e在m'b上,
0
<
m
<
2
∆pde的面积
=
梯形odpm'的面积＋
∆pm'e的面积　-∆ode的面积
＝(1/2)(3
-
m
+
2)*1
+
(1/2)*2*(3
-
m
-
1)
-
(1/2)(3
-
m)*(3
-
m)
=
(-m²
+
3m)/2
=
1
m
=1或m
=
2
与前提不符，舍去
三者结合,
m
=
2