Question

二次递推数列如何求通项公式

形如An+1=An^2-C(C>0)的递推数列可以用余弦或双曲余弦作替换，如果C<0呢

Answer 1

恐怕没有。
求采纳为满意回答。

Answer 2

非常重要的二次递推数列求法
形如an+1=aan2+ban+c(a≠0,
an≠an+1)的递推数列，难度很大。
让人大跌眼镜的是某几个省高考居然考了，所以发上来解法，只针对基础很好的同学。其通解要讨论n多种情况，有点混沌的味道。
恕我水平有限，现阶段只想出这些特殊情况。
an+1=aan2+ban+c(a≠0,an≠an+1)
基本思路通过线性变换（线性变换是最基本的形式简化方式）xn=an+b/(2a)，即化为完全平方将形式简化为
xn+1=axn2+[(4ac-b2+2b)/(4a)]
即简化形式xn+1=pxn2+q(p≠0)
下面只讨论这个形式，暂时只研究p>0的情况。
1、q>0，这个非常难，不幸这个递推数列方程没有解析解（即无法通过初等函数来表达，要用无穷级数来表达，用级数表达难度很大，而其本身失去了简化运算的意义。）
2、q=0，这个形式最简单。
两边取对数
∴lnxn+1=lnp+2lnxn(xn>0)
lnxn+1+
lnp
=ln(pxn+1)=2ln(pxn)
注意：若x1<0，要从x2开始，x2肯定大于0。
{
ln(pxn)}就是等比数列
∴ln(pxn)=2n-2ln(px2)
xn=(px2)^2n-2/p(n>1)
xn=x1(n=1)
△3§q<0，为了方便讨论及记忆
先指定其形式为xn+1=pxn2-q(p≠0,
q>0)
这种比较难，对于高中生来说能想到线性变换化简都不错了，更后面的变换更难想到。这种题高考是考过的，竞赛更不用说了。
(1)两边同时除以q/2
变换为2xn+1/q=pq
/2(2xn/q)2-2
(p≠0,q>0)
于是形式上变成了
rn+1=krn2-2(k>0)，对于这个递推形式，容易证明从某项起，这个数列是递增数列，这儿不再详细证明。
代换方法是令rn=bn+1/bn，bn+1=bn2（即bn=b1^2n-1）
注意：rn,bn
>0，若rn≤0，则要从使得rn>0的第m项rm开始，通过rm=bm+1/bm，算出bm，bn=bm^2n-m。数学需要严谨。
前面的项是摆动的，无法直接求。
这个是最简形式了，这个形式是有解的，可以想想为什么要化为-2。
下面以一个例子来说明解这种最简形式的具体求解思路。
例：an+1=an2-2，a1=-51/2。求an。
令an=bn+1/bn。
bn+1+1/bn+1+2=(bn+1/bn)2
注意右边可化为(bn+11/2+1/bn+11/2)2=(bn+1/bn)2
bn+11/2+1/bn+11/2=bn+1/bn
注意这里我们只要满足上面那个等式就行了，具体bn有多少种解我们不关心，所以最简单，只要bn+11/2=bn就行了。
显然lnbn+1=2lnbn，{lnbn}是等比数列，注意bn>0，需要an>0来保证，但第二项大于0，所以从第二项起。
lnbn=2n-2lnb2
a2=3=b2+1/b2，取一个根即可b2=(3+51/2)/2
bn=[(3+51/2)/2]^2n-2
an=bn+1/bn=[(3+51/2)/2]^2n-2+[(3-51/2)/2]^2n-2(n≥2)
an=-51/2(n=1)
p<0的情况，只需令yn=-xn
就可化为yn=-pyn2-q(p<0)，即转化成为
xn+1=pxn2+q(p>0)的形式
△综上所述：
an+1=aan2+ban+c(a≠0,
an≠an+1)的递推数列
都可以通过线性变换将形式化简成xn+1=pxn2+q(p
>0)的形式
若q<0，则可以进一步化简为xn+1=kxn2-2(k>0)这样的形式，若m项起xn>0，则通过xn=bn+1/bn，bn=bm^2n-m来求n≥m部分的通项公式（n
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