Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：连接AF，则AF=

2

，DF=

2

，
∵AD=2，
∴AF²+DF²=AD²
∴AF⊥DF，
∵PA丄平面ABCD，
∴PA⊥DF，
∵PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF，
∵PF?平面PAF，
∴PF⊥FD．
（2）解：过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面GEH∥平面PFD．
∵EG?平面GEH，
∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=

1

4

AP的点G为所求．