Question

如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2

如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．

Answer 1

图1

延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图1）
∵BD=DC，∠BDC=120°，

∴∠CBD=∠BCD=30°，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，

∴△BMD≌△CDE，

∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，

又∵∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠NDC=60°，

∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM

又∵DN=DN，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，

所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．

还要注意全等的格式哦   注意楼下有人盗取答案，是不标准的，请以我的为准！~大家学习加油！

Answer 2

延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图） ∵BD=DC，∠BDC=120°， ∴∠CBD=∠BCD=30°， ∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°， ∴△BMD≌△CDE， ∴∠BDM=∠CDE，DM=DE， 又∵∠MDN=60°， ∴∠BDM+∠NDC=60°， ∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM， 又∵DN=DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=NE=NC+CE=NC+BM， 所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．