Question

已知函数f（x）=2xx2+1，求函数的定义域、值域，并判断奇偶性和单调性

已知函数f（x）=2xx2+1，求函数的定义域、值域，并判断奇偶性和单调性．

Answer 1

∵x²+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．
若x=0，则f（x）=0，
若x≠0时，f（x）=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
若x＞0，x+

1

x

≥2

x? 1 x

＝2，此时0＜

2

x+ 1 x

≤1，
若x＜0，则x+

1

x

≤?2

(?x)? 1 ?x

＝?2，此时-1≤

2

x+ 1 x

＜0，
综上-1≤f（x）≤1，即函数的值域为[-1，1]．
f（-x）=

?2x

x2+1

＝?f(x)，即函数f（x）是奇函数．
函数的导数为f′（x）=

2?2x2

(x2+1)2

，
由f′（x）＞0解得 2-2x²＞0，即x²＜1，解得-1＜x＜1，此时函数单调递增．
由f′（x）＜0解得 2-2x²＜0，即x²＞1，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递减．