设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2),Tn是数列{log2an}的前n项和.(1)

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2),Tn是数列{log2an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2... 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2),Tn是数列{log2an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Tn;(3)求满足(1-1T2)(1-1T3)…(1-1Tn)>20132014的最大正整数n的值. 展开
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孙毛线111
2014-09-13 · TA获得超过170个赞
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(1)∵当n≥2时,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2),
∴Sn+1-Sn=4(Sn-Sn-1),
∴an+1=4an,∵a1=2,a2=8,
∴a2=4a1
∴数列{an}是以a1=2为首项,公比为4的等比数列.
an=2?4n?1=22n-1
(2)由(1)得:log2an=log222n?1=2n-1,
∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an
=1+3+…+(2n-1)
=
n(1+2n?1)
2
=n2
(3)(1-
1
T2
)(1-
1
T3
)…(1-
1
Tn

=(1-
1
22
)(1-
1
32
)…(1-
1
n2

=
22?1
22
×
32?1
32
×
42?1
42
×…×
n2?1
n2

=
1×3×2×4×3×5×…×(n?1)(n+1)
22×32×42×…×n2

=
n+1
2n

n+1
2n
2013
2014
,解得:n<
1007
1006

故满足条件的最大正整数n的值为1.
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