Question

（2012?白云区一模）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的角平分线交DC于点E，点P、Q分别是边AD和AE上的动

（2012?白云区一模）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的角平分线交DC于点E，点P、Q分别是边AD和AE上的动点（两动点不重合）．（1）PQ+DQ的最小值是______．（2）说出PQ+DQ取得最小值时，点P、Q的位置，并在图中画出；（3）请对（2）中你所给的结论进行证明．

Answer 1

解：（1）过点D作DF⊥AC，垂足为F，则DF即为PQ+DQ的最小值．
∵正方形ABCD的边长是4，
∴AD=4，∠DAC=45°，
在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，
∴DF=AD?sin45°=4×

2

2

=2

2

．
故答案为2

2

；

（2）如图1，过点D作DF⊥AC，垂足为F，DF与AE的交点即为点Q，过点Q作QP⊥AD，垂足即为点P；

（3）∵AE平分∠DAC，Q为AE上的点，且QF⊥AC于点F，QP⊥AD于点P，
∴QP=QF（角平分线性质定理），
∴PQ+DQ=FQ+DQ=DF=2

2

．
下面证明此时的PQ+DQ为最小值：
在AE上取异于Q的另一点Q₁，如图2．
①过Q₁点作Q₁F₁⊥AC于点F₁，
过Q₁点作Q₁P₁⊥AD于点P₁，
则P₁Q₁+DQ₁=F₁Q₁+DQ₁，
由垂线段最短，可得F₁Q₁+DQ₁＞FQ+DQ，
即P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ；
②若P₂是AD上异于P₁的任一点，
可知斜线段P₂Q₁＞垂线段P₁Q₁，
∴P₂Q₁+DQ₁＞P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ．
从而可得此处PQ+DQ的值最小．