Question

已知数列{an}的首项a1=3，前n项和为Sn，且Sn+1=3Sn+2n（n∈N*）．（Ⅰ）试判断数列{an+1}是否成等比数列

已知数列{an}的首项a1=3，前n项和为Sn，且Sn+1=3Sn+2n（n∈N*）．（Ⅰ）试判断数列{an+1}是否成等比数列？并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记Tn为数列{an+1}的前n项和，求Tn+12Tn+2n的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2n，S_n=3S_n-1+2（n-1），
两式相减，得：
a_n+1=3a_n+2，n≥2，
a_n+1+1=3（a_n+1），（n≥2），但a₂+1=9，
a₁+1=4，不符合上式，
∴{a_n+1}不是等比数列，
∴a_n+1=

4，n＝1 3n，n≥2

，
∴an＝

3，n＝1 3n?1，n≥2

．
（Ⅱ）a_n+1=

4，n＝1 3n，n≥2

，
T_n=4+9+27+…+3ⁿ=

3n+1?1

2

，

Tn+ 1 2

Tn+2n

=

3n+1

3n+1?1+2n+1

=

1

1+( 2 3 )n+1?( 1 3 )n+1

，
bn＝(

2

3

)n+1?(

1

3

)n+1+1，
b_n-b_n+1=

2?2n

3n+1

＜0，n≥2，0＜b_n＜b_n-1，

1

bn

＞

1

bn?1

，
∴{

Tn+ 1 2

Tn+2n

}为递增数列，∴n=1时，

Tn+ 1 2

Tn+2n

取最小值

3

4

．