Question

如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F.

（1）求证：DF为圆O的切线；
（2）若过点A且与BC平行的直线交BE的延长线于点G，连接CG，当△ABC是等边三角形时，求角AGC的度数
附图：

Answer 1

1、连接AD，OD

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC

∵AB=AC，

那么根据等腰三角形底边中线，高、和顶角平分线三线合一：∠BAD=∠CAD

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ODA=∠CAD

∵DF⊥AC，那么RT△ADF中

∠ADF+∠CAD=90°

∴∠ADF+∠ODA=90°

即∠ODF=90°，OD⊥DF

∴DF是圆的切线

2、AB是圆直径

∴∠AEB=90°，即BE⊥AC

∵△ABC是等边三角形

∴AE=CE

∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC=30°

∵AG∥BC，那么∠GAE=∠ACB=60°

∠AEG=∠CEG=90°，

∴∠AGE=90°-60°=30°

∵AE=CE，∠AEG=∠CEG=90°，EG=EG

∴△AEG≌△CEG(SAS)

∴∠cge=∠age=30°

∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=30°+30°=60°

 

 

Answer 2

①证明：
连接OD
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∵AB=AC
∴∠OBD=∠ACB
∴∠ODB=∠ACB
∴OD//AC
∵DF⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线
②∵AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°
∵△ABC是等边三角形
∴AE=CE（三线合一）
则BG垂直平分AC
∴AG=CG（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∵AG//BC
∴∠GAC=∠ACB=60°
∴△ACG为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠AGC=60°