（2010?天津）如图，在五面体EF-ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=22，∠BAD
（2010?天津）如图，在五面体EF-ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=22，∠BAD=∠CDA=45°．①求异面直线C...
（2010?天津）如图，在五面体EF-ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=22，∠BAD=∠CDA=45°．①求异面直线CE与AF所成角的余弦值；②证明：CD⊥平面ABF；③求二面角B-EF-A的正切值．
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（Ⅰ）解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD=1，ED=2
，
CE=
=3，故cos∠CED=
=
．
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为
；
（Ⅱ）证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，
则∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，
从而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=
，即G为AD的中点．
取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，
因为BC∥AD，所以BC∥EF．
过点N作NM⊥EF，交BC于M，
则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角．
连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．
从而BC⊥GM．由已知，可得GM=
．
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan∠GNM＝
＝
，
所以二面角B-EF-A的正切值为
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD=1，ED=2
| 2 |
CE=
| CD2+ED2 |
| ED |
| CE |
2
| ||
| 3 |
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为
2
| ||
| 3 |
（Ⅱ）证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，
则∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，
从而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=
| 2 |
取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，
因为BC∥AD，所以BC∥EF．
过点N作NM⊥EF，交BC于M，
则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角．
连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．
从而BC⊥GM．由已知，可得GM=
| ||
| 2 |
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan∠GNM＝
| GM |
| NG |
| 1 |
| 4 |
所以二面角B-EF-A的正切值为
