Question

已知函数f(x)＝2x?12x+1．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的值域；（3）证明f（x）在（-∞，

已知函数f(x)＝2x?12x+1．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的值域；（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

（1）由函数f(x)＝

2x?1

2x+1

，可知函数的定义域为R．
∵f（-x）=

2?x?1

2?x+1

＝

1?2x

1+2x

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
 （2）f（x）=

2x+1?2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵0＜2^x，∴1＜2^x+1，∴0＜

2

2x+1

＜2，∴?1＜1?

2

2x+1

＜1．
∴函数f（x）的值域是（-1，1）．
（3）证明：?x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=1?

2

2x2+1

?(1?

2

2x1+1

)=

2(2x2?2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₂＞x₁，∴2x2＞2x1，即2x2?2x1＞0，
又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．