Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）-f（y）．（1）求f（1）的值；（2）解不等式：f

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）-f（y）．（1）求f（1）的值；（2）解不等式：f（x-1）＜0；（3）若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（1x）＜2．

Answer 1

（1）在等式中令x=y≠0，则f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（x-1）＜0等价于f（x-1）＜f（1）
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

x?1＜1 x?1＞0

，解得x∈（1，2）
（3）由题意，f（4）=f（2）+f（2）=2，故原不等式为：f(x+3)?f(

1

x

)＜f(4)
即f[x（x+3）]＜f（4）
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
故原不等式等价于：

x+3＞0 1 x ＞0 x(x+3)＜4

，解得0＜x＜1，即x∈（0，1）．