Question

（2011?肇庆）己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E

（2011?肇庆）己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF=152，求tan∠ABF的值．

Answer 1

（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中点；

（3）解：∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴

AD

DB

=

AF

BA

，
由题意可知圆的半径为5，
∴AB=10，
∴

AD

BD

=

AF

BA

=

15 2

10

=

3

4

，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

3

4

，
即：tan∠ABF=

3

4

．