Question

已知：(12+2x)n的二项展开式前三项的二项式系数和等于79．（1）求展开式的二项式系数之和与系数之和；（2

已知：(12+2x)n的二项展开式前三项的二项式系数和等于79．（1）求展开式的二项式系数之和与系数之和；（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

（1）根据题意，(

1

2

+2x)n的二项展开式的通项为T_r+1=2^r?C_n^r?（

1

2

）^n-r?x^r，
由其二项展开式前三项的二项式系数和等于79，则C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，
即1+n+

n(n+1)

2

=79，
又由n∈N，
解可得n=12，
则其展开式二项式系数之和为2¹²=4096，
令x=1，可得（

1

2

+2）¹²=（

5

2

）¹²，即其展开式的系数之和（

5

2

）¹²，
（2）设T_k+1项的系数最大．
∵（

1

2

+2x）¹²=（

1

2

）¹²（1+4x）¹²，
∴

C k 12 4k≥ C k?1 12 4k?1 C k 12 4k≥ C k+1 12 4k+1

∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为T₁₁．
T₁₁=（

1

2

）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
故其展开式中系数最大的项16896x¹⁰．