Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，O

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA、OC是方程2x＝9?x10的两个根（OA＞OC），在AB边上取一点D，将纸片沿CD翻折，使点B恰好落在OA边上的点E处．（1）求OA、OC的长；（2）求D、E两点的坐标；（3）若线段CE上有一动点P自C点沿CE方向向E点匀速运动（点P运动到点E后停止运动），运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒，过P点作ED的平行线交CD于点M．是否存在这样的t 值，使以C、E、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出t值及相应的时刻点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵解方程

2

x

=

9?x

10

得，x₁=4，x₂=5，
经检验x₁=4，x₂=5均是原方程的解，
∵OA＞OC，
∴OA=5，OC=4；

（2）∵由（1）知OA=5，OC=4，
∴BC=OA=5，AB=OC=4，
∵△CED由△CBD翻折而成，
∴CE=BC=5，∠CED=∠B=90°，DE=BD，
在Rt△OCE中，
∵OC=4，CE=5，
∴OE=

CE2?OC2

=

52?42

=3，
∴E（3，0）；
∴AE=OA-OE=5-3=2，
设BD=x，则AD=4-x，DE=x，
在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，即x²=（4-x）²+2²，解得x=

5

2

，
∴AD=4-

5

2

=

3

2

，
∴D（5，

3

2

）；

（3）如图1，当CM=ME时，
∵MP∥DE，∠CED=90°，
∴MP⊥CE，
∴点P是CE的中点，
∴t=PC=

1

2

CE=

1

2

×5=

5

2

；
∴PM是△CED的中位线，
∴M是CD的中点，
∵C（0，4），D（5，

3

2

），
∴M（

5

2

，

11

4

）；
如图2，当CM=CE时，
过点M作MF⊥BC于点F，交x轴于点E，
∵C（0，4），D（5，

3

2

）
∴CD=

52+(4? 3 2 )2

<