Question

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置，A与C重合，O与C重合．（1）

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置，A与C重合，O与C重合．（1）求图1中，A，B，D三点的坐标；（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式；（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况？若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）A（0，6），B（6，0），D（-6，0）．（2分）

（2）当0≤x＜3时，位置如图A所示，
作GH⊥DB，垂足为H，可知：OE=2x，EH=x，
DO=6-2x，DH=6-x，
∴y=2S_梯形IOHG=2（S_△GHD-S_△IOD）
=2[

1

2

（6-x）²-

1

2

（6-2x）²]
=2（?

3

2

x²+6x）
=-3x²+12x（3分）
当3≤x≤6时，位置如图B所示．
可知：DB=12-2x
∴y=S_△DGB=

1

2

(

2

2

DB)2
=

1

2

[

2

2

（12-2x）]²=x²-12x+36（4分）
（求梯形IOHG的面积及△DGB的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）
∴y与x的函数关系式为：y＝

?3x2+12x(0≤x＜3) x2?12x+36(3≤x≤6)

；（5分）

（3）图B中，作GH⊥OE，垂足为H，
当x=4时，OE=2x=8，DB=12-2x=4，
∴GH=DH=

1

2

DB=2，OH=6-HB=6-

1

2

，DB=6-2=4
∴可知A（0，6），G（4，2），C（8，6），6分
∴经过A，G，C三点的抛物线的解析式为：y=

1

4

（x-4）²+2=

x2

4

-2x+6；（7分）

（4）当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况，
设P点坐标为（x₀，y₀）
当⊙P与y轴相切时，有|x₀|=2，x₀=±2，
由x₀=-2，得：y₀=11，
∴P₁（-2，11）
由x₀=2，得y₀=3，
∴P₂（2，3）