Question

已知数列{an}的首项为a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N+）．（1）求证：数列{an+1}成等比数列；

已知数列{an}的首项为a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N+）．（1）求证：数列{an+1}成等比数列；（2）设bn=nan，求{bn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（1）由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N₊），
可得n≥2时，S_n=2S_n-1+n+4，两式相减得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1．
从而a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2）．
当n=1时，S₂=2S₁+1+5，
∴a₂+a₁=2a₁+6，
又a₁=5，∴a₂=11．
从而a₂+1=2（a₁+1）．
故总有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N₊，
又a₁=5，a₁+1≠0，
从而数列{a_n+1}成等比数列；
（2）由（1）知a_n=3×2ⁿ-1，
∴b_n=na_n=3n?2ⁿ-n．
则T_n=3（1?2¹+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ）-（1+2+3+…+n）．
令Rn＝1?21+2?22+…+n?2n，
则2Rn＝1?22+2?23+…+n?2n+1，
作差得：-Rn＝2+22+…+2n?n?2n+1＝

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1．
∴Rn＝(n?1)2n+1+2．
∴Tn＝3(n?1)2n+1+6?

n(n+1)

2

．