1÷(1 y∧4)的积分是多少？
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把x都改成y就可以了。
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分享一种解法。设I1=∫dy/(1+y^4)，I2=∫y²dy/(1+y^4)。
∴I1+I2=∫(1+y²)dy/(1+y^4)=∫(1+1/y²)dy/(1/y²+y²)【令t=y-1/y】=∫dt/(t²+2)=(1/√2)arctan(t/√2)+c1①。
I2-I1=∫(y²-1)dy/(1+y^4)=∫(1-1/y²)dy/(1/y²+y²)【令s=y+1/y】=∫ds/(s²-2)=[1/(2√2)ln丨(s-√2)/(s+√2)丨+c2②。
由①-②得，原式=I1=[1/(4√2)][2arctan(t/√2)-ln丨(s-√2)/(s+√2)丨]+C，其中t=y-1/y，s=y+1/y。
∴I1+I2=∫(1+y²)dy/(1+y^4)=∫(1+1/y²)dy/(1/y²+y²)【令t=y-1/y】=∫dt/(t²+2)=(1/√2)arctan(t/√2)+c1①。
I2-I1=∫(y²-1)dy/(1+y^4)=∫(1-1/y²)dy/(1/y²+y²)【令s=y+1/y】=∫ds/(s²-2)=[1/(2√2)ln丨(s-√2)/(s+√2)丨+c2②。
由①-②得，原式=I1=[1/(4√2)][2arctan(t/√2)-ln丨(s-√2)/(s+√2)丨]+C，其中t=y-1/y，s=y+1/y。
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