Question

判断多项式在有理数域上是否可约。以下两种方法都可以用是吧？

Answer 1

1、艾森斯坦因判别法：设f（x）=a₀+a₁x+...+aₙxⁿ是整系数多项式，若有一个素数P使得P不整除aₙ，但整除其他aᵢ（i=0,1，...，n-1）；p²不整除a₀，那么f（x）在有理数域上市不可约的。

2、反证法：因为艾森斯坦因判别法只是一个判别整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件，并不是必要条件，也就是说，不满足艾森斯坦因判别法的多项式也可能是不可约的，在无法托到艾森斯坦因判别法中的素数P的情况下，长用反证法。

3、利用有理根，对于次数不超过三次的多项式利用有理根判别更简单，若没有有理根，则在有理数域上不可约。

4、利用因式分解唯一性定理，把有理数域看成实数域的一部分，将多项式分解成实数域上不可约因式，如其不可约因式的系数不全是有理数，由因式分解唯一性定理可知，该多项式在有理数域上不可约。

扩展资料：

对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与f(x)总是f(x)的因式，这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式；其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式，设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式。

如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上（或P{x}中）可约，亦称p(x)是P上的可约多项式，或既约多项式；如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上（或在P{x]中）可约，亦称p(x)是P上的可约多项式一个多项式是否可约，与其基域有关。