设函数f(x)满足xf'(x)+f(x)=lnx/x,f(e)=1/e,则当x>0时，f(x)有无极值
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解：
令F(x)=xf(x)
F'(x)=xf'(x)+f(x)=lnx/x
F(x)=∫(lnx/x)dx=∫lnxd(lnx)=½(lnx)²+C
f(e)=1/e
f(e)=½(lne)²+C=C+½=1/e
C=1/e -½
F(x)=½(lnx)²+ 1/e -½
f(x)=[½(lnx)²+ 1/e -½]/x
f'(x)=[lnx-½(lnx)²- 1/e +½]/x²
令f'(x)≥0
[lnx-½(lnx)²- 1/e +½]/x²≥0
(lnx -1)²≤2- 2/e
1-√(2- 2/e)≤lnx≤1+√(2- 2/e)
x>0时，函数有极大值点x=e^[1+√(2- 2/e)]
令F(x)=xf(x)
F'(x)=xf'(x)+f(x)=lnx/x
F(x)=∫(lnx/x)dx=∫lnxd(lnx)=½(lnx)²+C
f(e)=1/e
f(e)=½(lne)²+C=C+½=1/e
C=1/e -½
F(x)=½(lnx)²+ 1/e -½
f(x)=[½(lnx)²+ 1/e -½]/x
f'(x)=[lnx-½(lnx)²- 1/e +½]/x²
令f'(x)≥0
[lnx-½(lnx)²- 1/e +½]/x²≥0
(lnx -1)²≤2- 2/e
1-√(2- 2/e)≤lnx≤1+√(2- 2/e)
x>0时，函数有极大值点x=e^[1+√(2- 2/e)]
更多追问追答
追问
f'(e)不是等于0么？为什么e不是极值点
追答
嗯，我说怎么这么复杂，是我搞错了。重新写一下：
解：
令F(x)=xf(x)
F'(x)=xf'(x)+f(x)=lnx/x
F(x)=∫(lnx/x)dx=∫lnxd(lnx)=½(lnx)²+C
f(e)=1/e
F(e)=e·f(e)=e·(1/e)=1
½(lne)²+C=1
C=½
F(x)=½(lnx)²+½
f(x)=F(x)/x=[(lnx)²+1]/(2x)
f'(x)=[2lnx -(lnx)²-1]/(2x²)
令f'(x)≥0
[2lnx -(lnx)²-1]/(2x²)≥0
(lnx)²-2lnx+1≥0
(lnx -1)²≥0
平方项恒非负，不等式恒成立。
x>0时，f'(x)恒≥0，函数没有极大值点。
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