Question

在什么情况下， x^3可以看做是x^2的三阶无穷小？

Answer 1

x-->0，x是一阶无穷小，x^2是二阶无穷小，则x^3是三阶无穷小

“无穷小的阶”是一个相对的概念，是两个无穷小的比较。习惯上称【x-a是在x→a时的基本无穷小】，【1/x是在x→∞时的基本无穷小】在x→a时，笼统说“无穷小量f(x)是k阶无穷小”应该理解为“对于基本无穷小x-a而言”的。有比任意有确定阶的无穷小更高阶的无穷小量函数。

拓展资料：

在x=0的领域作Taylor Expansion:

e^x=1+x+(1/2)x^2+ (1/6)x^3+...

1/(1+x)=1-x+x^{2}-x^{3}+...

要使得f(x)为x的三阶无穷小. 即是 f(x) 的 taylor expansion 正比于 x^{3}

f(x)=(1+2x+2x^{2}+(4/3)x^{3}+...)-(1+ax)(1-bx+b^{2}x^{2}-b^{3}x^{3}+...)

=(1-1)+(2-a+b)x+(2+ab-b^2)x^2+(4/3-ab^2+b^3)x^{3}

所以, 2-a+b=0, 2+ab-b^{2}=0. 

解之得: a=1, b=-1

检验: 代入得到 当x--->0 时, f(x)--->(-2/3)x^3