Question

已知实数x，y满足4^x+9^y=1，则2^(x+1)+3^(y+1)的取值范围，请写出详细过程

Answer 1

观察后，令2^x=cosθ,3^y=sinθ,且θ∈（0，π/2）
则f(θ)=2^(x+1)+3^(y+1)=2cosθ+3sinθ=√13cos(θ-Φ),其中Φ=arcsin3/√13
f(0)=2,f(π/2)=3,f(Φ)=√13
可见，原式的值域为(2,√13],即：
2<2^(x+1)+3^(y+1)≤√13

Answer 2

因9^y>0，所以4^x<1，则x<0；同理，y<0；
设2^x=cosa,则9^y=1-4^x=1-cos^2a=sin^2a;3^y=sina,a∈（0，π/2）;
则2^(x+1)+3^(y+1)=2cosa+3sina=√13sin(a+b)其中sinb=2/√13,cosb=3/√13
所以2<2^(x+1)+3^(y+1)≤√13

Answer 3

不保证正确，你参考一下吧……