Question

设对于任意光滑有向闭曲面S ,都有∮∮x f ( y ) dy dz + y f ( x ) dz

设对于任意光滑有向闭曲面S ,都有∮∮x f ( y ) dy dz + y f ( x ) dz dx - z [ b+ f ( x + y ) ] dx dy = 0,其中函数f ( x ) 在(- ∋ ,+ ∋ ) 内连续,且f ( 1) = a( a,b 都是常数) ,求f

Answer 1

设P=xf(y)，Q=yf(x)，R=-z[b+f(x+y)]
根据高斯公式， 曲面积分恒为零
则P对x的偏导数＋Q对y的偏导数＋R对z的偏导数≡0
所以 f(y)+f(x)-b-f(x+y)=0，
f(x+y)=f(x)+f(y)-b f(2)=2f(1)-b=2a-b f(3)=f(2)+f(1)-b=3a-2b f(4)=....=4a-3b ....
由归纳法可得f(n)=na-(n-1)b