Question

列向量乘行向量得到的矩阵的特征值

两个n维非零列向量a，b， 矩阵a*b^T的秩为1 ，特征值为什么是0，0，tr(a*b^T)

Answer 1

A=ab^T的秩为1， 故A只有1个非零特征值，n-1个重特征值 0。

A的n个特征值的和是tr(ab^T)，其中n-1个加数都是0，另一个就是 tr(ab^T)。

所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数是特征根的重数。

扩展资料：

¦(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解 ， 称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。 

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

Answer 2

A = ab^T 的秩为 1， 故 A 只有 1 个非零特征值，n-1 个重特征值 0.
A 的 n 个特征值的和是 tr(ab^T)， 其中 n-1 个加数都是 0， 另一个就是 tr(ab^T)。

追问

A的n个特征值的和为什么是tr(ab^T)

追答

请去查一下《线性代数》教科书，特征值的性质一小节，有这条性质。
这还是由特征方程（n次代数方程）解的性质即广义韦达定理推出来的。

Answer 3

|λI-A| = λ-3 -1 -2 λ-2 = (λ-4)(λ-1) = 0 解得λ = 4, 1 将特征值4代入特征方程(λI-A)x=0 1 -1 -2 2 第2行, 减去第1行×-2 1 -1 0 0 增行增列，求基础解系 1 -1 0 0 1 1 第1行, 加上第2行×1 1 0 1 0 1 1 得到属于特征值4的特征向量 (1,1)T 将特征值1代入特征方程(λI-A)x=0 -2 -1 -2 -1 第2行, 减去第1行×1 -2 -1 0 0 第1行, 提取公因子-2 1 12 0 0 增行增列，求基础解系 1 12 0 0 1 1 第1行, 加上第2行×-1/2 1 0 -12 0 1 1 第3列, 乘以2 1 0 -1 0 1 2 得到属于特征值1的特征向量 (-1,2)T