Question

线性代数线性方程组问题，求学霸讲解！

Answer 1

按第1列展开，得 |A| = 1 - a^4
当 a ≠ ±1 时，|A| ≠ 0， 方程组有唯一解。
当 a = 1 时，增广矩阵 (A, β) =
[1 1 0 0 1]
[0 1 1 0 -1]
[0 0 1 1 0]
[1 0 0 1 0]
初等行变换为
[1 1 0 0 1]
[0 1 1 0 -1]
[0 0 1 1 0]
[0 -1 0 1 -1]
初等行变换为
[1 1 0 0 1]
[0 1 1 0 -1]
[0 0 1 1 0]
[0 0 1 1 -2]
初等行变换为
[1 1 0 0 1]
[0 1 1 0 -1]
[0 0 1 1 0]
[0 0 0 0 -2]
r(A, β) = 4, r(A) = 3, 方程组无解。
当 a = -1 时，增广矩阵 (A, β) =
[-1 1 0 0 1]
[ 0 -1 1 0 -1]
[ 0 0 -1 1 0]
[-1 0 0 1 0]
初等行变换为
[ 1 -1 0 0 -1]
[ 0 -1 1 0 -1]
[ 0 0 -1 1 0]
[ 0 -1 0 1 -1]
初等行变换为
[ 1 0 -1 0 0]
[ 0 1 -1 0 1]
[ 0 0 -1 1 0]
[ 0 0 -1 1 0]
初等行变换为
[ 1 0 0 -1 0]
[ 0 1 0 -1 1]
[ 0 0 1 -1 0]
[ 0 0 0 0 0]
r(A, β) = r(A) = 3, 方程组有无穷多解。此时方程组化为
x1 = x4
x2 = 1+x4
x3 = x4
取 x4 = 0 ， 得特解 (0, 1, 0, 0)^T;
导出组是
x1 = x4
x2 = x4
x3 = x4
取 x4 = 1 ， 得 Ax = 0 的基础解系 (1, 1, 1, 1)^T，
此时方程组的通解是 x = (0, 1, 0, 0)^T + k (1, 1, 1, 1)^T。

Answer 2

|A|的行列式直接按行展开就可以了，第二问要求有无穷解，那么系数矩阵和增广矩阵的秩要相等且小于4，直接写出增广矩阵然后进行初等行变换，判断秩就可以了。

Answer 3

你就想着在每个岔道处进来的和出去的流量都是相等的于是可以得到方程组x1+x2=300x1+200=x3即x1-x3=-200x2+x3=500于是可以解得x1=50，x2=x3=250