Question

求旋转体体积

求 y=x的平方和y=1所围成的图像绕y轴旋转一周的体积。

Answer 1

因为是绕 y 轴旋转的，那么，每一个微元上：
h = dy，r = x
则：
dV = π * r² * h = π*x²*dy
因为积分曲线是 y = x²，那么，dy = 2x *dx
所以
dV = π*x² * (2x*dx) = 2π*x³*dx
两边同时积分，积分限为 x = 0 → 1。得到：
V = ∫dV
= 2π*∫x³dx
= 2π * (1/4) * x^4|x=0→1
= π/2 * (1 - 0)
= π/2

Answer 2

y=3 : y1
y=f(x) : y2
阴影部分 （-1->1）
=圆柱体的体积 - f(x) 绕 x轴所产生的 体积
V
=π∫(-1->1) [ (y1)^2 - (y2)^2 ] dx
=π∫(-1->1) { 3^2 - [f(x)]^2 } dx