Question

函数取得极大值的条件是什么?

Answer 1

可微函数的极大值要求驻点负定，一元函数情况下，要求驻点：即一阶导数在该点为0；要求负定：即二阶导数在该点严格小于0
(f''(x0)<=0只是半负定，要f''(x)<0才是负定)
多元也是这样，要求驻点：jacobi矩阵在该点要为0；要求负定：海塞矩阵在该点必须是负定阵
当场证明给你看好了
设f(x1,...,xn)是n元二阶可微函数
根据taylor定理在x=(x(1),x(2),...,x(n))处展开为
f(x1,...,xn)=f(x(1),...,x(n))+j(x)(x1-x(1),...,xn-x(n))t+(x1-x(1),...,xn-x(n))h(x)(x1-x(1),...,xn-x(n))t
+((x1-x(1),...,xn-x(n))模长的平方的高阶无穷小)
驻点要求j(x)=0,
负定要求h(x)是负定的，也就是说对于任意
(x1-x(1),...,xn-x(n))t≠0，上述表达式右边第二项为0，右边第三项严格小于0，由于第四项是比第三项高阶的无穷小，所以在x点充分小的局部上，右边为f(x(1),...,x(n))+某个严格小于0的项，所以左边严格大于右边（对于该点附近不同于该点的点来说）,根据定义，该点是极大值点。
所以
驻点负定
是极值点的充分条件
反过来，如果是严格的极大值点，也能得到驻点负定，所以驻点负定是严格的极大值点的充分必要条件
但是貌似那种不严格的极大值点不满足这点，半负定本身就是负定的必要条件
所以你这种说法也算是正确
f''(x)<0的必要条件是f''(x)<=0，所以不管怎么说，你把必要条件扩大到f''(x)<=0不会错的
但是作为充分条件就不够了
“f'(x0)=0(就是一元的j(x0)=0)且f''(x0)<0(就是一元的h(x0)负定)”是严格极大值的充分必要条件
但是不严格的情况（其实也只有平点的情况，根本就是在该点附近是一个常函数，这时候显然即是极大值又是极小值，但是不满足海塞矩阵负定，因为这时候不管几阶导数都是0，一般我们讨论问题时候会排除这种过于简单的特例）
极小值完全同理，就是驻点j=0，正定（海塞矩阵h正定）