Question

已知三角形ABC的三边为a,b,c求证ab+bc+ca<=a*a+b*b+c*c

Answer 1

因为abc是三角形的三边，所以a,b,c大于零，a*a+b*b+c*c=1/2[(a*a+b*b)+(a*a+c*c)+(b*b+c*c)]>=1/2[2(a*b+a*c+b*c)]=ab+ac+bc
所以ab+bc+ca<=a*a+b*b+c*c

Answer 2

两边同时乘以2即得左边为2ab+2bc+2ac，右边为a*a+b*b+b*b+c*c+a*a+c*c
再根据a*a+b*b>=2ab
b*b+c*c
>=2bc
a*a+c*c>=2ac
当且仅当
a=b=c时取等号
即可证明

Answer 3

a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
三式相加，得：
2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac
所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac

当且仅当a=b=c时等号成立