Question

数列An=n的平方 求前n项的和Sn

Answer 1

1、该数列的前4项，只要依次将n=1，2，3，4代入计算就可以了
以n=1代入sn=n²＋2中，得：s1=1²＋2=3，因a1=s1，则：a1=3
以n=2代入sn=n²＋2中，得：s2=6，而s2=a1＋a2=3＋a2=6，则：a2=3
以n=3代入sn=n²＋2中，得：s3=11，而s3=a1＋a2＋a3=6＋a3=11，则：a3=5
以n=4代入，同理计算出：a4=7
2、对于数列由sn求an的问题，一定要注意的是：
【a1=s1
(n=1)；an=sn－s(n－1)
(n≥2)】，则：
①当n=1时，a1=s1=3
②当n≥2时，an=sn－s(n－1)=[n²＋2]－[(n－1)²＋2]=2n－1，则：

{
3

(n=1)
an=

{
2n－1
(n≥2)

Answer 2

An=n^2,A1=1^2=1,
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6