Question

已知双曲线x^2-y^2=2的右焦点为F,过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点，点C的坐标是（1，0）

（1）证明：向量CA×CB为常数
（2）若动点M满足向量CM=CA+CB+CO（O为坐标原点），求点M的轨迹方程

Answer 1

应该是点乘吧？向量CA·CB；
（1）
证明：
设A，B两点分别为（x1，y1），（x2，y2），
由题意知在双曲线中：
a=√2，b=√2，c=2，F坐标为（2，0），
向量CA=（x1-1,y1），向量CB=(x2-1,y2),
CA·CB=（x1-1）*(x2-1)+y1*y2 ①
下面分两种情况：
1）直线斜率存在，设为k，则AB方程为
y=k(x-2)
与双曲线方程联立：
y=k(x-2)
x²-y²=2
消去y得：
（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
Δ=16k^4+4(1-k^2)*(4k^2+2)
=8(k²+1）>0
二次项系数（1-k²)≠0
即k≠±1
由韦达定理：
x1+x2=(4k²)/(k²-1)，②
x1*x2=（4k²+2）/(k²-1)，③
y1*y2=k²（x1-2)*(x2-2)
由①得：
CA·CB=（x1-1）*(x2-1)+y1*y2
=x1*x2-(x1+x2)+1+k²（x1-2)*(x2-2)
=（1+k²)(x1*x2)-(2k²+1)*(x1+x2）+4k²+1
=（1+k²)*（4k²+2）/(k²-1)-(2k²+1)*(4k²)/(k²-1)+4k²+1
=(1-k²）/(k²-1)
=-1
2）直线斜率不存在时：
即直线与x轴垂直，即为x=2解得两交点为
A（2，√2），B（2，-√2）
CA=（1，√2），CB=（1，-√2）
故CA·CB=（1*1-2）=-1
综上知向量CA·CB=-1为常数

（2）同样和（1）中分两种情况：
1）直线斜率存在
各个参数也同（1）中，
设M为（x，y），则由题意知
x=x1+x2-2,
y=y1+y2,
由（1)中知
y1+y2=k(x1+x2-4)
即
x=(4k²)/(k²-1)-2 ④
y=k[(4k²)/(k²-1)-4] ⑤
消去k得：
（两式相比，易知k=y/(x-2)带入可消去k)
x²-y²=4
由④知因k≠±1
故x≠2
2）直线斜率不存在时：
可以求出M为（2，0）
综上M轨迹方程为x²-y²=4

lz，能不能追加点分数呢，我可是花了半个小时帮你解这道题呢！呵呵！