Question

计算一题二重积分(被积函数带绝对值)

∫∫|xy|dxdy,D为由圆x^2+y^2=a^2所围成的区域. 再请问下为什么sin2θ区间跨度会比sinθ小,如果我下次遇到sin3θ,sin4θ怎么办

Answer 1

请看附图。
除附图外，还有其它简单解法。根据函数cos(x+y)对称性可知，此积分的区间也可表示为由直线y=0,x=0,和y=π/2-x所围成的区域。由于在此区域内cos（x+y）≥0，故绝对值可被简单地拿掉而不用分区积分。即：
∫∫|cos(x+y)|dδ=∫dy∫|cos(x+y)|dx=∫dy∫cos(x+y)dx，
（y积分：从0到π/2），（x积分：从0到π/2-y）。这样：
∫dy∫cos(x+y)dx=∫(1-siny)dy=[y+cosy]
(积分从0到π/2)
=π/2-1
即：∫∫|cos(x+y)|dδ=π/2-1