Question

什么是循环数

Answer 1

循环数是一个整数，满足乘连续的若干个数后各位发生循环。

中文名
循环数
类别
一个整数
构造
循环数可以用程序构造
性质
所有的循环数都是9的倍数。
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构造

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其他进制
简介
最广为人知的循环数是142857.其循环如下：
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
分析
为了确认一个数是否是循环数，需要保证这个数是乘连续的若干个数后发生循环。因此，076923不会被认为是一个循环数，即使它各位循环后的数都是它的倍数。
以下这些数比如是循环数；
1、单独的一位数，如5
2、单位重复的数，如555
3、循环数的重复，如142857
如果前导0不被允许，142857将是唯一一个十进制循环数。如果允许前导0，前几个循环数是：
142857 (6位)
0588235294117647 (16位)
052631578947368421 (18位)
0434782608695652173913 (22位)
0344827586206896551724137931 (28位)
0212765957446808510638297872340425531914893617 (46位)
0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58位)
016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60位)
特征
循环数与单位分数的循环小数表示形式有关。一个长为L的循环数在数字上是1/(L+1)的循环节。相反的，如果1/p(p是质数）的循环节长度为p-1，它的循环节在数字上就是一个循环数。
形式
由循环数与单位分数的关系可得，循环数有这样的形式

其中b是数基（对于十进制，b=10），而p是一个不是b的倍数的质数（能产生循环数的质数被称为全循环质数）
例如，b=10,p=7时会产生142857.
不是所有的p会根据这个公式产生循环数。例如当p=23时会产生076923076923。这些失败的例子总包含重复的数。
前几个产生十进制循环数的质数包括（OEIS中的数列编号为A001913）
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …
这个数列中所有的数p满足10是p的模p原根，Emil Artin猜想称37.395..%的质数属于这个数列。[1]
构造
循环数可以用程序构造，伪代码如下（其中b,p的定义上文已给出）
t = 0.
r = 1.
n = 0.
loop:
t = t + 1
x = r * b
d = int(x / p)
r = x mod p
n = n · b + d
If r ≠ 1 then goto loop;
if t = p - 1 then n is a cyclic number.
这个程序通过使用长除法计算1/p的数位构造。r是每一步的余数，d是产生的数。
若 t > p/2, 则这个数必定为循环数, 无需继续计算后面部分了。
性质
乘以产生一个循环数的质数时，结果会是一系列的9.如 142857 × 7 = 999999。
如果将其按位划分成若干等长份并加在一起，结果会是一系列的9.这是Midy定理的特殊情况。如14 + 28 + 57 = 99 142 + 857 = 999 1428 + 5714+ 2857 = 9999
所有的循环数都是9的倍数。[2]