Question

y''-4y'+4y=e^2x的通解

Answer 1

y''-4y'+4y=e^2x的通解
对应齐次方程y''-4y'+4y=0的特征方程为：
r^2-4r+4=0
特征根为：r1=r2=2
通解：y=(C1+C2x)e∧2x
因为r=2是特征方程的双根，
所以应设Y=Ax^2e^2x
则Y′=2Axe^2x+2Ax^2e^2x
Y″=2Ae^2x+8Axe^2x+4Ax^2e^2x
代入原方程:
2Ae^2x+8Axe^2x+4Ax^2e^2x-4(2Axe^2x+2Ax^2e^2x)+4Ax^2e^2x=e^2x
2Ae^2x=e^2x
2A=1
解得A=1/2
因此求的一个特解为：Y=
(1/2)x^2e^2x
故所求通解为：y=(C1+C2x)e^2x+
(1/2)x^2e^2x
(其中C1,C2是任意常数)