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用分部积分法
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分享解法如下，利用伽玛函数【Γ(α)=∫(0,∞)[x^(α-1)]e^(-x)dx，(α>0)】及其性质求解。
设lnx=-t。∴x=e^(-t)。原式=∫(0,∞)[(-t)^n]e^(-αt-t)dt。再令αt+t=s。∴原式={[(-1)^n]/(α+1)^(n+1)}∫(0,∞)(s^n)e^(-s)ds={[(-1)^n]/(α+1)^(n+1)}Γ(n+1)。
又，n为正整数时，Γ(n+1)=n！。∴原式=[(-1)^n]n!/(α+1)^(n+1)。
供参考。
设lnx=-t。∴x=e^(-t)。原式=∫(0,∞)[(-t)^n]e^(-αt-t)dt。再令αt+t=s。∴原式={[(-1)^n]/(α+1)^(n+1)}∫(0,∞)(s^n)e^(-s)ds={[(-1)^n]/(α+1)^(n+1)}Γ(n+1)。
又，n为正整数时，Γ(n+1)=n！。∴原式=[(-1)^n]n!/(α+1)^(n+1)。
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