Question

埃及分数的拆分法

Answer 1

当限定分母为奇数时，把“1”分解为埃及分数，项数限定为9项，共有5组解：

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231。

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395。

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693。

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315。

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385。

以上5组解是在1976年才找到。限定为11项时，发现了1组解 最小分母是105。若大于105则有很多的解。

1/n型分数还可以表示成为级数分解式：

1/n=1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3+1/(n+1)^4+....+1/(n+1)^k+1/n(n+1)^k.

埃及分数成为不定方程中一颗耀眼的明珠。

埃及分数最著名的猜想是Erods猜想：1950年Erods猜想，对于n〉1的正整数，

总有：

4/n=1/x+1/y+1/z. （1）

其中，x，y，z。都是正整数。

Stralss进一步猜想，当n≥2时，方程的解x，y，z满足x≠y，y≠z，z≠x。x〈y〈z。

1963年柯召，孙奇，张先觉证明了Erods猜想stralss猜想等价。几年后yamanot又把结果发展到10的7次方。以后一些数学家又把结果推向前去，始终未获根本解决。对于4/n=1/x+1/y+1/z，只需要考虑n=p为素数的情况，因为若（1）式成立，则对于任何整数m，m<1，

4/pm=1/xm+1/ym+1/zm，（2）

也成立。

一切奇素数都可以表示为4R+1与4R+3型。对于p=4R+3型，（参见《单位分数》人民教育出版社1962年）：（1）式是显然的。