Question

一道空间解析几何题目。点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0 上的投影点的坐标

Answer 1

过点(-1,2,0)作平面x+2y-z+1=0的垂线,那么垂足即为所求投影.容易知道,垂足即为这条垂线与平面的交点.
因为平面x+2y-z+1=0的法向量为 (1,2,-1),所以过点(-1,2,0)且方向向量为
(1,2,-1)的直线方程为 (x+1)/1=(y-2)/2=z/(-1) 将这条直线方程与平面方程联立,解一个三元一次方程组可得 x=-5/3,y=2/3,z=2/3.因此所求投影即为
(-5/3,2/3,2/3).

Answer 2

解：
过点（-1，2，0）且垂直平面x+2y-z+1=0的直线的方向向量就是该平面的法向量，由此可得该直线的点向式（对称式）方程为
(x+1)/1=(y-2)/2=z/(-1)
化为参数式
{
x=t-1
{
y=2t+2
{
z=-t
代入平面方程，得
(t-1)+2(2t+2)-(-t)+1=0
解得，t=-2/3
故所求投影为（-5/3，2/3，2/3)