Question

关于离散数学中集合的问题

有限集是否一定是可数集啊？
设A是有限集，B是可数集，为什么A和B的笛卡尔积集是无限集啊？

Answer 1

主要是对概念理解不深刻。

可数集也称至多可列集，包括两种集合，即有限集和可列集（可列集就是与自然数集等势的集合）
所以第一个问题显然了。

第二个问题问得就不对了，你说的“B是可数集”这里吧可数集和可列集等同了。“A和B的笛卡尔积集是无限集”，这里无限集也是不正确的，无限集分为可数无限集和不可数无限集，“无限”只是相对“有限”而言，可数集不一定是无限集，但是可数集中的可列集是无限集，不可数集一定是无限集。
设A是有限集，B是可数集，那么A和B的笛卡尔积集有以下几种情况：
1、如果B是可数集里的有限集，那么A和B的笛卡尔积集还是有限集，且有|A×B|=|A|×|B|，|*|表示集合的势（基数）
2、如果B是可数集里的可列集，那么A和B的笛卡尔积集是可列集，且有|A×B|=|B|=|N|=Aleph0(阿列夫零，希伯来文)，此时说A和B的笛卡尔积集是无限集是正确的。

Answer 2

有限集不是可数集。令N是正整数的全体，且N＝{1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，那么N叫做有限集合。但是你数得清集合里面有多少个元素吗，当然不能咯。
空集也被认为是有限集合。但是空集里面摸有元素。

设A是有限集，B是可数集，为什么A和B的笛卡尔积集是无限集啊？
对于这个问题，你首先想想A和B的笛卡尔积集是什么，对了，就是A×B，也就是从A里拿一个元素x，然后再到B里拿一个元素y,然后就知道了（x,y）属于A×B咯。就像刚刚我所说的A是有限集，但是它不可数。所以A×B就也不可数了咯，然后也就有无限钟排列组合了。所以它是无限集。
懂了吗？

Answer 3

同一平面内，a，b，c，d分别表示此平面内互不重合的直线
1、若a∥b，c∥b，则a∥b∥c，所以a∥c，即
//^2=
//
2、若a⊥b，c⊥b，则a∥c，即⊥^2=
//
3、若a∥c，c⊥d，则a⊥d，又∵由2得出⊥^2=//
即//
=⊥^2
∴
⊥^3=⊥
前提条件很重要，一个是这是同一平面内的，还有就是这4条直线相互不重合!

Answer 4

集合按元素个数有限还是无限多分为有限集和无限集。
无限集分为可数集和不可数集。
如有理数集合是可数集，实数集是不可数集合。
命题证明如下，
证明：
（定理:有限个可数集的并集还是可数集 ）
设有限集A={a1,a2,……,an},可数集B={b1,b2,……}
则A*B={a1,a2,……,an}*{b1,b2,……}
={(a1,b1),(a1,b2),……，(a1,bn),……}+……+{(an,b1),(an,b2),……(an,bn),……}
观察bn的下标可知右边每一个集合都是可数集，n个可数集的并集也可数。
证毕！