Question

如何验证直径是圆中最长的弦

求证:直径是圆中最长的弦
请写出已知.作辅助线的方法和思路谢谢

Answer 1

证明：
假设直径不是圆中最长的弦
假设圆中最长的弦是圆周上A，B两点的连线
过A点作过圆心O的直径，交圆与C点，连接BC，OB
因为三角形OBC，三角形OBA是等腰三角形，
所以∠OCB=∠OBC＞0
∠OAB=∠OBA＞0
∠ABC=∠OBA+∠OBC＞∠OCB
在三角形ABC中，根据大角对大边
可得AC＞AB
即直径大于圆中最长的弦，而直径是圆中的一条弦，所以与题设矛盾
直径是圆中最长的弦

Answer 2

在圆中画出直径,在直径对应的圆弧上,任意定一个点,然后与直径两端相连接,形成了一个直角三角形(直径所对应的角是直角),那么该直角三角形中,直径就是三角形的斜边.在直角三角形中,斜边总是大于两个直角边,而两直角边也就是圆的另外两条弦长了,所以,圆的直径就是圆中最长的弦了!

Answer 3

反证法

假设直径AB不是⊙O中最长的弦，一定存在弦CD>AB.
连结CO、DO，则CO+DO=AB，
∵CO+DO>CD,（三角形中 两边之和大于第三边)
∴AB>CD.
这与假设CD>AB矛盾,
∴AB是⊙O中最长的弦.

Answer 4

取任意非直径的弦BC，过B作直径AB，连接AC
则AC垂直BC
所以AB^2=BC^2+AC^2>BC^2
所以AB>BC恒成立。