Question

二项式(1+X)的n次方的展开式中,奇数项的二项式系数之和为32

二项式(1+X)的n次方的展开式中,奇数项的二项式系数之和为32，则该二项展开式的中间项为？

Answer 1

(1+x)^n一共有n项，f(1)=2^n为所有项的系数和
f(-1)=奇数项-偶数项=0
相加得2倍奇数项=2^n=2*32
n=6
所以展开式有7项，中间为C6(3)x^3=6*5*4/1*2*3x^3=20x^3

Answer 2

二项式系数之和=2的n次方=64，n=6
所以展开式中常数项c63（6是下脚标3是上角标）*2的3次方（这时x与2/x的指数相等均为3）=20*8=160
平方项中令x指数为n，有n-（6-n）=2，n=4
于是平方项系数c64*2的平方（这时2/x指数为2）=15*4=60
写的乱了点，不过你应该能看懂的

Answer 3

f(x)=(1+x)^n=Cn0x^0+Cn1x^1+Cn2x^2
+...+Cn(n-1)x^(n-1)+Cnnx^n
f(1)-f(-1)=2*32=2^n-0
n=8
中间项展开式为Cn4x^4=(8*7*6*5)/(4*3*2*1)x^4=70x^4