Question

已知数列｛an｝满足：a1=2,a2=3,2an+1=3an-an-1(n》2）

已知数列｛an｝满足：a1=2,a2=3,2an+1=3an-an-1(n》2）
（1）求数列｛an｝的通项公式an;
(2)求使不等式an-m/an+1-m〈2/3成立的所有正整数m,n的值
n+1,n,n-1角标

Answer 1

1、由已知条件可得：2(an+1)-2(an)=(an)-(an-1)
设cn=（an+1）-（an）
则2cn=cn-1（n≥2），cn/cnn-1=1/2(常数)
因此{cn}是以1/2为公比，c1=a2-a1=1为首项的等比数列
所以cn=1/2^(n-1),即an+1-an=1/2^(n-1)
an-an-1=1/2^(n-2)
an-1-an-2=1/2^(n-3)
……
a2-a1=1/2^(0)=1
上边n-1个等式相加得：an-a1=1/2^(n-2)+1/2^(n-3)+……1
等式右边为数列cn的前n-1相求和
an-2=2-2*（1/2^(n-1)）
因此an=4-1/2^(n-2)

2、将求出的通项公式带入到已知的不等式中，化简可以得到：
1/2^(n-m-2)>2
由于函数y=1/2^x为减函数，因此n-m-2<-1,所以n-m<1

Answer 2

解：（1）∵2an+1=3an-an-1（n≥2），
∴2（an+1-an）=an-an-1（n≥2），
∴数列{an-an-1}是以a2-a1=1为首项，12为公比的等比数列，
则an-an-1=(12)n-2，（n≥2），
由累加法得：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=2+1+12+(12)2+…+(12)n-2=4-(12)n-2，（n≥2），
而a1=2也满足上式，则数列{an}的通项公式an=4-(12)n-2；
（2）不等式an-man+1-m＜23即为4-(12)n-2-m4-(12)n-1-m＜23，
∴1-m4＜(12)n-1＜4-m
∴1-m4＜4-m，即m＜4，
当m=1时，34＜(12)n-1＜3，解得n=1，
当m=2时，；12＜(12)n-1＜2，解得n=1，
当m=3时，14＜(12)n-1＜1，解得n=2，．
∴正整数m，n的值为：m=1n=1或m=2n=1或m=3n=2．

Answer 3

第一小题：由2an+1=3an-an_1分解成2an+1=2an+an-an_1
得an-an_1=1 及该数列为公差为1的等差数列
所以an=a1+(n-1)*1=n+1

Answer 4

(1)2a(n+1)-2an=an-a(n-1)
设bn=a(n+1)-an,则bn=b(n-1)/2
b1=3-2=1,bn=1/2^(n-1)
前n项bn的和Sn=2(1-1/2^n)
an=a(n-1)+b(n-1)=a1+S(n-1)=2+2(1-1/2^n-1)=4- 1/2^(n-2)

Answer 5

解：（Ⅰ）由2an+1=3an-an-1（n≥2），
得2（an+1-an）=an-an-1（n≥2），
∴{an+1-an}是以a2-a1=1为首项，以12为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an-an-1=(12)n-2，
累加得an=4-(12)n-2，
则an-man+1-m＜23，即：4-(12)n-2-m4-(12)n-1-m＜23，
由题意知m≥4时无解，
则m=1n=1，m=2n=1，m=3n=2.．