Question

线性代数里如何判断一个矩阵是否可相似对角化？

有重特征值怎么办？
那如果特征向量的个数少于n怎么办?

Answer 1

1.所有特征根都不相等，那么不用说，绝对可以对角化
2.有等根，只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的，那么也可以对角化，如果不是，那么就不能了。
就这些，综合起来就是书上说的：有n个线性无关的特征向量！！

这个定理是说，无论多少！只要这些特征向量是线性无关的，例如3阶的有三个，4阶的4个，。。。。

n阶的特征多项式，就有n个特征向量！

Answer 2

n阶方阵可对角化的充分必要条件是a有n个线性无关的特征向量
(1)
求特征值
(2)
对每个k重特征值a,
(a-ae)x=0
的基础解系必须含有k个解向量,
否则a不能对角化
即必须有
r(a-ae)
=
n
-
k.

Answer 3

k重特征值有k个特征向量

Answer 4

Answer 5

可逆即可相似对角化