Question

如何求矩阵的最小多项式

？

Answer 1

最小多项式(minimal polynomial)是代数数论的基本概念之一。由Cayley-Hamilton定理，A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。

最小多项式的求解方法

方法：

1、先将A的特征多项式

在P中作标准分解，找到A的全部特征值

 2、对

的标准分解式中含有

的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A的多项式就是最小多项式。

例：

 

的最小多项式。

解：A的特征多项式为：

又

 

故A的最小多项式为

扩展资料

特征多项式的解法

1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。

2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。

3、试根法分解因式。

Answer 2

求极小多项式本质上和求初等因子组或者Jordan标准型是等价的。
如果这些概念知道，那么看一下教材就明白了。
如果都不知道，那么这样：
先求出所有的特征值及其代数重数。假定不同特征值为c1,c2...,ck，那么极小多项式一定是
p(x)=(x-c1)^a1(x-c2)^a2...(x-ck)^ak
的形式，关键在于定次数。
对于单特征值c，那么对应的指数就是a=1。
对于重特征值c，去求它的广义特征向量，也就是说解(cI-A)^mx=0，m从1开始向上增加，直到(cI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同，那么a=m。换句话说，就是使得(cI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m。