求解一个线性代数问题
设A是n阶矩阵，且A不等于零。证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0的充分必要条件是｜A｜=0....
设A是n阶矩阵，且A不等于零。证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0的充分必要条件是｜A｜=0.
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首先这个问题要用线性方程组的知识来解决。
先证必要性，也就是左推右。
因为存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0 那就说明B中每个列向量就都是方程Ax=0的解，因为B为非零矩阵，所以其列向量中至少有一个为非零列向量，这就说明方程Ax=0有非零解，从而说明A不满秩，所以 |A|= 0 。
再证充分性，也就是右推左。
因为 |A|=0 说明A不满秩，所以方程Ax=0其解向量中有非零解，任意取出一个非零解向量和n-1个0向量组成矩阵就可以满足AB=0，而且B也为非零向量，所以存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0。
证毕
先证必要性，也就是左推右。
因为存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0 那就说明B中每个列向量就都是方程Ax=0的解，因为B为非零矩阵，所以其列向量中至少有一个为非零列向量，这就说明方程Ax=0有非零解，从而说明A不满秩，所以 |A|= 0 。
再证充分性，也就是右推左。
因为 |A|=0 说明A不满秩，所以方程Ax=0其解向量中有非零解，任意取出一个非零解向量和n-1个0向量组成矩阵就可以满足AB=0，而且B也为非零向量，所以存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0。
证毕
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2024-10-28 广告
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