Question

几何题，与圆有关。MN是圆O的直径，MN=2，点A在圆O上，角AMN=30度，B为弧AN的中点，P

几何题，与圆有关。MN是圆O的直径，MN=2，点A在圆O上，角AMN=30度，B为弧AN的中点，P是直径MN上的一动点，则PA+PB的最小值为多少？

Answer 1

以直径MN为对称轴将点B翻折到点E，则弧ANE 的度数是90°，连结AE交MN于P，即为所求的PA+PB取最小值时，点P的位置，此时AE=根号2，即PA+PB的最小值为根号2

Answer 2

做点B关于MN的对称点C，连接AC，其于MN的交点为P，则此时PA+PB最小
证明：在MN上另取一点Q，连接AQ，BQ，CQ
由于B、C关于MN对称，所以BQ=CQ，BP=CP
所以：PA+PB=PA+PC，QA+QB=QA+QC
在△ACQ中，由于两边之和大于第三边，所以：QA+QC > AC=PA+PC
所以，当P为AC与MN的交点时，PA+PB最小
下面求解PA+PB的值
连接AO、CO，由于同弧所对圆心角是圆周角的2倍，所以∠AON=60°，一周为360°，刚好1/6
所以弧AN为1/6圆周，而B是弧AN的中点，所以BN为1/12圆周
B与C关于MN对称，所以弧CN也是1/12圆周
所以弧AC为 1/6 + 1/12 = 1/4圆周，所对的圆周角为 360°/4 = 90°
即：∠AOC=90°
由于OA、OC都是圆的半径，所以OA=OC=MN/2=1
所以在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=2
所以：AC=√2
即：PA+PB=√2 为其最小值
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