Question

急呀！！已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图象先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得函数g（x）为奇函数

（1）求f（x）的解析式； 
      
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈[0，π3]，f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
要详细

Answer 1

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图象先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得函数g（x）为奇函数
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈[0，π3]，f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

(1)解析：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π/2
∴T/2=π/2==>T=π==>ω=2==>f(x)=sin(2x+φ)-b，
∵将f（x）的图象先向右平移π/6 个单位，再向上平移3 个单位，所得函数g（x）为奇函数∴g(x)=sin(2(x-π/6)+φ)-b+3
令-π/3+φ=0==>φ =π/3，b=3
∴f(x)=sin(2x+π/3)-3
(2)解析：
单调增区间：2kπ-π/2<=2x+π/3<=2kπ+π/2==>kπ-5π/12<=x<=2kπ+π/12
单调减区间：2kπ+π/2<=2x+π/3<=2kπ+3π/2==>kπ+π/12<=x<=2kπ+7π/12
(3)解析：∵对任意x∈[0,π/3 ]，f^2(x)-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立
当x∈[0,π/3 ]时，
f(0)=sin(π/3)-3=√3/2-3
f(π/12)=sin(π/6+π/3)-3=-2
f(π/3)=sin(2π/3+π/3)-3=-4
∴f(x)∈[-4,-2]
令t=f(x)，g(t)=t^2-(2+m)t+2+m=t^2-2t+2+m(1-t) t∈[-4,-2]
∴函数g(t)无论m取何值必过定点(1,1)
∴要满足t∈[-4,-2]时，g(t)<=0
此时g(t)对称轴x=(2+m)/2<1，则m<0
∴只要g(-4)=16+4(2+m)+2+m<=0==>m<=-(1+3√3)/2
∴对任意x∈[0,π/3 ]，f^2(x)-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立，只要m<=-26/5

Answer 2

1）∵g（x）为奇函数
∴g(x)=sin(ωx)

ω=π/2*2/(2π)=1/2
∴g(x)=sin(1/2x)
f(x)=sin[1/2(x+π/6)]-3=sin(1/2x+π/12)-3
2）2kπ-π/2<1/2x+π/12<2kπ+π/2
4kπ-7π/6<x<4kπ+5π/6
单增区间：(4kπ-7π/6,4kπ+5π/6) (k∈Z)
单减区间：(4kπ+5π/6,4kπ+17π/6) (k∈Z)