Question

高中三角函数竞赛题，求高人详解！

Answer 1

令t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4), 则|t|<=√2
平方：t^2=1+2sinθcosθ,故sinθcosθ=(t^2-1)/2
代入y:
y=(t^2-1)/[2(2+t)]
再令u=t+2, 这里u的取值范围是[2-√2,2+√2]
则t=u-2
y=[u^2-4u+4-1]/(2u)=[u^2-4u+3]/(2u)=[u+3/u]/2-2
由均值不等式，u+3/u>=2√(u*3/u)=2√3, 当u=3/u,即u=√3时取等号
因此y的最小值=√3-2
当u=√3, 即t=√3-2=√2sin(θ+π/4)取最小值。
即：sin(θ+π/4)=√1.5-√2
得θ+π/4=2π+arcsin(√1.5-√2), π-arcsin(√1.5-√2)
因此θ=7π/4+arcsin(√1.5-√2), 3π/4-arcsin(√1.5-√2)

追问

虽然我觉得直接用基本不等式y=(t+2)/2+3/4×2/(t+2)-2≥2√(3/4)-2=√3-2做出来要更方便些。。。

等等最后两步两个结果。。。arcsin前面的加号和减号反了吧。。。

对不起。。。我看错了。。。

Answer 2

追答

不用非得求导了，可以上下约分的

追问

这个真的要求导这么复杂。。。？对勾函数单调性＆基本不等式，我刚刚做了，但只做出θ的一个答案，标答有两个答案没过程而且没有我做出的答案，学霸你能帮我看看吗？

追答

抱歉哈，我回答完你就关了，才看到……

对不起哈……我抄题抄错了，没能帮助到你……

追问

没事……还是很谢谢你！