Question

在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,并且a的平方=b(b+c) 求证A=2B

Answer 1

因为a^2=b(b+c),
故a^2+c^2-b^2=c^2+bc //两边同时加上c^2,b^2移项。
(a^2+c^2-b^2)/2ac=(c^2+bc)/2ac //两边同时除以2ac
即cosB=(b+c)/2a //余弦定理
注意到(b+c)=a^2/b,所以cosB=a/2b,
所cos2B=2cos^2 B-1=(a/2b)^2-1=(a^2-2b^2)/2b^2=(a^2-b^2-b^2)/2b^2
cos(2B)=(bc-b^2)/2b^2=(c-b)/2b.................................1式
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(c^2-bc)/2bc=(c-b)/2b...................2式
由两式得cosA=cos2B,又A<180度，所以A=2B