Question

2014年 天津文科 高考数学19题 已知函数f（x）=x^2-2/3ax^3（a>0),x属于R.

已知函数f（x）=x^2-2/3ax^3（a>0),x属于R.
(1)求f（x）的单调区间和极值;
(2)若对于任意的x1属于（2，+∞）,都存在x2属于（1，+∞）,使得f（x1）×f（x2）=1,求a的取值范围.
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Answer 1

利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论

这个题难度很大，综合性也很强，答案在这里http://gz.qiujieda.com/exercise/math/804204已知函数f（x）=x^2-2/3ax^3（a>0),x属于R.
(1)求f（x）的单调区间和极值;
(2)若对于任意的x1属于（2，+∞）,都存在x2属于（1，+∞）,使得f（x1）×f（x2）=1,求a的取值范围。希望能采纳哦，祝你学习进步哦~

Answer 2

分析：
（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；
（Ⅱ）由f（0）=f（3/2a）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，[3/2a]）时，f（x）＞0；当x∈（[3/2a]，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={[1/f(x)]|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）f′（x）=2x-2ax^2=2x（1-ax），
∵a＞0，∴当x＜0或x＞1/a时，f′（x）＜0，当0＜x＜1/a时，f′（x）＞0，
f（x）单调递减区间为：（-∞，0）和(1/a，+∞)，单调递增区间为(0，1/a)，
当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=1/a时，有极大值f（1/a）=1/3a^2 ；
（Ⅱ）由f（0）=f（3/2a）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，3/2a）时，f（x）＞0；当x∈（3/2a，+∞）时，f（x）＜0．
设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={1/f(x)|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅
下面分三种情况讨论：
（1）当3/2a＞2，即0＜a＜3/4时，由f（3/2a）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；
（2）当1≤3/2a≤2，即3/4≤a≤3/2时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（-∞，f（2）），∴A⊆（-∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（-∞，0），即（-∞，0）⊆B，∴A⊆B；
（3）当3/2a＜1，即a＞3/2时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（1/f(1)，0），A=（-∞，f（2）），∴A不是B的子集．
综上，a的取值范围是[3/4，3/2]．